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16 décembre 2010 4 16 /12 /décembre /2010 12:44

A l'approche des fêtes de Noël voici une petite récréation mathématique. Il s'agit d'un problème illustrant par l’absurde la puissance et la menace extraordinaire que font peser sur toute réalité matérielle les phénomènes de croissance exponentielle (1). La question est la suivante :

Compte tenu de son effectif : 6,7 milliards d’individus début 2008 et de son taux de croissance annuel estimé aujourd’hui à environ 1,2 % : Dans combien d’années la population humaine formera-t-elle une sphère dont le rayon croîtra à la vitesse de la lumière ?

Dans des milliards d’années ?

Non, l'échéance est beaucoup plus modeste et son ordre de grandeur relève plus de l'histoire que de la géologie. Voyons cela.

 

Données du problème :

Population au 1er janvier 2008 : environ 6 700 000 000 êtres humains

Taux de croissance annuel de la population en 2008 : environ 1, 2 %

Volume moyen d’un être humain :  environ  50 litres

Vitesse de la lumière : 299 792 458 mètres par seconde

 

1, Taille de la "sphère humaine" aujourd’hui.

Remarques :

. On néglige le volume de la Terre (il devient sans importance).

. On suppose qu’en croissant, cette sphère ne se tasse pas, c’est irréaliste, bien sûr, mais l’objet du calcul est seulement de montrer la puissance de l’exponentielle.

. Pi = 3, 141 592 654

. Le volume d’une sphère est égal à :(4/3) x Pi x R3 : R étant le rayon de la sphère. Dans la première partie de ce calcul nous appellerons ce rayon Ri (Rayon Initial) pour le distinguer du rayon final R.

Chaque être humain emplissant un volume de 50 litres soit 0,05 m3, l’ensemble de l’humanité représente en 2008 un volume de :

6,7 x 109 x 0,05 = 3,35 x 108 m3 soit 335 millions de mètres cubes.

Nous avons donc

(4/3) x Pi x Ri3 = 3,35 x 108 m3

Ri3 = 3,35 x 108 m3 x 3 / (4 x Pi) = 3,35 x 108 x 3 / (4 x 3,141 592 654)

Ri3 = 3,35 x 108 m3 x 3 / 12, 566 370 61 soit :

Ri3 = 3,35 x 108 m3 x 0,238 732 415 =  79 975 359 m3

Le rayon de la sphère est égal à la racine cubique de ce nombre 

Ri = (79 975 359)1/3 m soit Ri = 430, 842 693  mètres

Ri = 431 mètres (arrondi)

Remarque : L’ensemble de l’humanité (en 2008) ainsi « tassée » entrerait dans une sphère de moins de 450 mètres de rayon et donc de moins de 900 mètres de diamètre ! N'utilisez pas ce résultat pour en conclure que la planète n'est pas surpeuplée.

 

2, De combien augmente la taille d’une sphère dont le volume augmente chaque année de 1,2 % ?

Si le volume de la sphère, qui est directement proportionnel à l’effectif de l’humanité, augmente chaque année de 1,2 %, cela signifie qu’il se trouve tous les ans multiplié par le coefficient 1,012.

Comme le volume d’une sphère est proportionnel au cube de son rayon, ce dernier est proportionnel à la racine cubique du dit volume.

Donc, un coefficient de 1,012 concernant le volume se traduit par un coefficient égal à racine cubique de 1,012 pour le rayon soit :

1,0121/3 = 1, 003 984 106

Ainsi, chaque année le rayon de la sphère se voit multiplié par 1,004 (arrondi). Autrement dit, le rayon augmente de 0,004 de sa valeur, soit 4 pour mille.

La sphère verra donc son rayon croître à la vitesse de la lumière quand ces (presque) quatre pour mille du rayon représenteront la distance que franchit la lumière en un an.

 

3, Distance franchie par la lumière en un an

Vitesse de la lumière (dite c) = 299 792 458 ms-1

Durée de l’année  (2) : 31 556 926 secondes  

La lumière parcourt donc en un an :

299 792 458 ms-1 x 31 556 926 s = 9 460 528 412 000 000 mètres (3)

Soit en arrondissant : 9,461 x 1015 mètres.

 

4, Rayon de la sphère au moment où sa croissance se fera à la vitesse de la lumière.

Dire que la sphère croît à la vitesse de la lumière signifie qu’en un an, le rayon de celle ci a augmenté de la valeur d’une année lumière (9,461 x 1015 m). Comme le rayon croît de 0, 003 984 106 de sa valeur chaque année (résultat du point 2), cela arrivera quand 0,003 984 106 x le rayon (R) de la sphère représentera une année lumière.

Posons donc (pour trouver ce R)

R (en mètres) x 0, 003 984 106  =  9,460 528 412 x 1015 mètres  

R (en mètres)  =  9,460 528 412 x 1015 mètres / 0, 003 984 106

R  =  2,374 567 56 x 1018 mètres

R  =  2,4 x 1018 mètres (valeur arrondie)

Cela représente environ 2,4 millions de milliards de kilomètres,  2 400 billions de kilomètres selon l’acceptation française du terme billion (4) .

 

5, Détermination du nombre d’années nécessaires.

Soit n ce nombre d’années, c’est à dire ce que l’on cherche.

Soit r le taux annuel de croissance du rayon de la sphère

Rappel : r  =  1,003 984 106 ( attention, ne pas confondre r, le taux annuel de croissance et R le rayon final de la sphère)

Nous avons :

Taille du rayon nécessaire = taille du rayon initial x r n

Soit avec les notations utilisées ici : R = Ri x r n

Soit en remplaçant par les valeurs calculées aux points 2 et 4

2,374 567 56 x 1018 m  =  430, 842 693 8 m x 1,003 984 106 n soit :

1,003 984 106 n  =  2,374 567 56 x 1018 m / 430,842 693 8 m

n peut être déterminé en prenant le logarithme décimal des deux termes de l’équation.

log (1, 003 984 106 n ) = log ((2,374 575 6 x 1018 )/ 430,842 693 8 )

Rappel :

log (an)      =   n  x  log a ,

log (a / b)   =   log a  -  log b,

log (a x b)  =   log a  +  log b

En utilisant ces règles, nous obtenons :

n log 1,003 984 106  = log (2,375 x 1018) – log 430,842 693 8

n log 1,003 984 106  = log 1018  + log 2,374 575 – log 430,842 694

n log 1,003 984 106  = 18 log 10 + log 2,374 575 – log 430,842 694

En remplaçant les logarithmes par leur valeurs

n x 0,001 726 837  = 18 x 1 + 0,375 584 53 - 2,634 318 733

n x 0,001 726 837  = 18,375 584 53 – 2, 634 318 733 = 15,741 266

n  = 15, 741 266 / 0, 001 726 837 = 9 115, 661 329

en arrondissant :

                                          n  =  9 116 ans

 

Ainsi, si elle devait poursuivre sa croissance au taux actuel, l’humanité occuperait dans 9 116 ans, une sphère dont le rayon croîtrait à la vitesse de la lumière !

Cette durée n’est pas bien longue. Elle ne représente que deux millionièmes de l’histoire de la Terre, un peu plus de deux fois l’âge des pyramides.

La croissance d’une quantité matérielle, si modeste qu'en soit le taux, est forcément transitoire. Elle se heurte inéluctablement à des limites physiques, celle-ci étant probablement la plus extrème.

Un petit calcul qui, avec la fameuse parabole du nénuphar (5) popularisée par Albert Jacquard, ferait une excellente leçon à certains démographes comme à certains économistes qui aiment à oublier les mathématiques et à déconnecter leur domaine des réalités matérielles du monde.

 

Remarque : Les calculs ont été réalisés avec la précision habituelle d’une calculatrice (12 chiffres significatifs dont 10 affichés). Tous ces chiffres pris en compte ne sont pas systématiquement repris dans le texte  et le dernier chiffre, quel que soit son rang, est souvent arrondi à l'écriture sans l'être au calcul. Voici pourquoi, en appliquant les mêmes opérations aux valeurs ci-dessus, vous pourriez trouver un résultat légèrement différent.

_________________________________________________________________________ 

(1) Voir aussi sur ce thème l'article : Qu'est-ce qu'une exponentielle ? 

Notez que ce petit calcul a été réalisé il y a deux ans, vous pouvez,si le coeur vous en dit le réactualiser en prenant les données les plus récentes. Début 2011, le taux de croissance de nos effectifs n'a guère changé (environ + 1,2% par an) mais le nombre d'êtres humains devrait à la fin de cette année atteindre les 7 milliards !

(2) Il s'agit là de l'année tropique. Parmi les différentes années que définit l'astronomie, l'année tropique est celle qui sert de base à notre calendrier. Elle  dure 365 jours 5 heures 48 minutes 46 secondes.

(3) Cette valeur est celle de l'Année-Lumière très utilisée en astronomie.

(4) Le billion français vaut 1000 billions américains ("a billion" en américain correspond à un milliard en français). Pour plus de détails sur cette question, voir l' article sur les grands nombres.

(5) Célèbre parabole dont voici le résumé :

Sur un étang, se trouvent quelques nénuphars et ceux-ci ne cessent de se multiplier. Si l'on sait que la surface de l'étang se trouvera entièrement couverte par ces plantes en 50 jours, et que leur étendue double chaque 24 heures. Dans combien de temps les nénuphars recouvriront-ils la moitié de l'étang ?

La première réponse qui vient à l’esprit : 25 jours est évidemment fausse. Si la surface occupée par les plantes double tous les jours, la moitié de celle de l'étang aura été couverte à la veille de l’échéance. Cela signifie que face à une progression exponentielle la catastrophe ne s’annonce pas longtemps à l’avance. L’avant veille du recouvrement total,  un quart seulement de l’étang est couvert et l’antépénultième jour un huitième seulement, laissant ainsi croire que l’étang est ‘sous peuplé’ et qu’il reste tout le temps pour réagir. Notre planète ressemble à cet étang !

 

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Published by Didier BARTHES - dans Curiosités
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